Question

14．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，實(shí)軸長為2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線y=x+1被雙曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，實(shí)軸長為2，求出a，c，可得b，即可求雙曲線C的方程；
（2）y=x+1代入${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1，整理可得x²-2x-3=0，求出x，即可求直線y=x+1被雙曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，實(shí)軸長為2，
∴a=1，c=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）y=x+1代入${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1，整理可得x²-2x-3=0，
∴x=-1或3，
∴直線y=x+1被雙曲線C截得的弦長=$\sqrt{1+1}•|3+1|$=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．