Question

7．設(shè)f（x）=x-alnx．（a≠0）
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）≥a²，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；
（Ⅱ）當a＞0時，由（Ⅰ）知，f（x）有最小值f（a）=a-alna，得到1-lna≥a，構(gòu)造函數(shù)g（a）=1-lna-a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍，
當a＜0，由由f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，于是得到當x∈（0，${e}^{\frac{1}{4}}$）時，f（x）＜0，則此時不成立．

解答 解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=x-alnx，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
當a＞0時，當0＜x＜a時，f'（x）＜0，當x＞a時，f'（x）＞0，
∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；
當a＜0時，f'（x）＞0，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
（Ⅱ）（1）當a＞0時，由（Ⅰ）知，f（x）有最小值f（a）=a-alna，
于是f（x）≥a²，當且僅當f（a）≥a²，即1-lna≥a，
設(shè)g（a）=1-lna-a，則g（a）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又g（1）=0，
∴當且僅當0＜a≤1時，g（a）≥0，即f（x）≥a²，當且僅當a=1時等號成立，
（2）當a＜0時，由f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當x∈（0，${e}^{\frac{1}{4}}$）時，f（x）＜f（0，${e}^{\frac{1}{4}}$）=${e}^{\frac{1}{4}}$-1＜0，則f（x）≥a²不成立，
綜上所述a的取值范圍為（0，1]

點評 本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題，屬于中檔題