Question

16．已知曲線C的極坐標方程是ρsin²θ-8cosθ=0，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xOy．在直角坐標系中，傾斜角為α的直線l過點P（2，0）．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）設點Q和點G的極坐標分別為（2，$\frac{3π}{2}$），（2，π），若直線l經(jīng)過點Q，且與曲線C相交于A，B兩點，求△GAB的面積．

Answer 1

分析 （1）ρsin²θ-8cosθ=0，化為ρ²sin²θ-8ρcosθ=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可得出直角坐標方程．直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）點Q和點G的極坐標分別為（2，$\frac{3π}{2}$），（2，π），分別化為：Q（0，-2），G（-2，0）．k_l=1，傾斜角為$\frac{π}{4}$，可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．將參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：t²-8$\sqrt{2}$t-32=0，設t₁與t₂為此方程的兩個實數(shù)根，可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．點G到直線l的距離d．即可得出S_△GAB=$\frac{1}{2}$|BA|•d．

解答 解：（1）ρsin²θ-8cosθ=0，化為ρ²sin²θ-8ρcosθ=0，
∴直角坐標方程為：y²=8x．
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）點Q和點G的極坐標分別為（2，$\frac{3π}{2}$），（2，π），分別化為：Q（0，-2），G（-2，0），k_l=$\frac{0-（-2）}{2-0}$=1，傾斜角為$\frac{π}{4}$，直角坐標方程為：y=x-2．可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．將參數(shù)方程代入曲線C的方程可得：t²-8$\sqrt{2}$t-32=0，△=128+4×32＞0，設t₁與t₂為此方程的兩個實數(shù)根，可得：t₁+t₂=$8\sqrt{2}$，t₁t₂=-32．∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{256}$=16．點G到直線l的距離d=$\frac{|-2-0-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．∴S_△GAB=$\frac{1}{2}$|BA|•d=$\frac{1}{2}×16×2\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標方程化為直角標準方程、直線的參數(shù)方程及參數(shù)幾何意義的應用、三角形面積計算公式，考查邏輯思維能力、運算求解能力，屬于中檔題．