Question

【題目】已知函數(shù) .
（I）若曲線 存在斜率為-1的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）求 的單調(diào)區(qū)間；
（III）設(shè)函數(shù) ，求證：當(dāng) 時(shí)， 在 上存在極小值.

Answer 1

【答案】解：（I）由 得 .
由已知曲線 存在斜率為-1的切線，所以 存在大于零的實(shí)數(shù)根，
即 存在大于零的實(shí)數(shù)根，因?yàn)? 在 時(shí)單調(diào)遞增，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
（II）由 可得
當(dāng) 時(shí)， ，所以函數(shù) 的增區(qū)間為 ；
當(dāng) 時(shí)，若 ， ，若 ， ，
所以此時(shí)函數(shù) 的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 .
（III）由 及題設(shè)得 ，
由 可得 ，由（II）可知函數(shù) 在 上遞增，
所以 ，取 ，顯然 ，
，所以存在 滿足 ，即存在 滿足 ，所以 ， 在區(qū)間（1，+∞）上的情況如下：

	－	0	+
	↘	極小	↗

所以當(dāng)-1<a<0時(shí)，g（x）在（1，+∞）上存在極小值.
【解析】（1）由已知曲線 y = f ( x ) 存在斜率為-1的切線，等價(jià)于 f ' ( x ) = 1 存在大于零的實(shí)數(shù)根,結(jié)合二次方程實(shí)根的分布求a的范圍;
(2)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)參數(shù)a的取值分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)要證g ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上存在極小值,則g'(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間中有異號(hào)零點(diǎn),根據(jù)(2)的結(jié)論求得a的范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．