【題目】已知函數(shù) .
(I)若曲線 存在斜率為-1的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)求 的單調(diào)區(qū)間;
(III)設(shè)函數(shù) ,求證:當(dāng)
時,
在
上存在極小值.
【答案】解:(I)由 得
.
由已知曲線 存在斜率為-1的切線,所以
存在大于零的實(shí)數(shù)根,
即 存在大于零的實(shí)數(shù)根,因?yàn)?
在
時單調(diào)遞增,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
(II)由 可得
當(dāng) 時,
,所以函數(shù)
的增區(qū)間為
;
當(dāng) 時,若
,
,若
,
,
所以此時函數(shù) 的增區(qū)間為
,減區(qū)間為
.
(III)由 及題設(shè)得
,
由 可得
,由(II)可知函數(shù)
在
上遞增,
所以 ,取
,顯然
,
,所以存在
滿足
,即存在
滿足
,所以
,
在區(qū)間(1,+∞)上的情況如下:
- | 0 | + | |
↘ | 極小 | ↗ |
所以當(dāng)-1<a<0時,g(x)在(1,+∞)上存在極小值.
【解析】(1)由已知曲線 y = f ( x ) 存在斜率為-1的切線,等價于 f ' ( x ) = 1 存在大于零的實(shí)數(shù)根,結(jié)合二次方程實(shí)根的分布求a的范圍;
(2)先對函數(shù)求導(dǎo),對參數(shù)a的取值分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)要證g ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上存在極小值,則g'(x)在對應(yīng)區(qū)間中有異號零點(diǎn),根據(jù)(2)的結(jié)論求得a的范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)
的極值的方法是:(1)如果在
附近的左側(cè)
,右側(cè)
,那么
是極大值(2)如果在
附近的左側(cè)
,右側(cè)
,那么
是極小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,底面為等腰梯形的四棱錐 中,
平面
,
為
的中點(diǎn),
,
,
.
(1)證明: 平面
;
(2)若 ,求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,
(Ⅰ)若關(guān)于 的不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)若關(guān)于 的一次二次方程
有實(shí)根,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知邊長為的正三角形
三個頂點(diǎn)都在球
的表面上,且球心
到平面
的距離為該球半徑的一半,則球
的表面積為___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)研究函數(shù)的極值點(diǎn);
(2)當(dāng)時,若對任意的
,恒有
,求
的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O,以x軸為對稱軸,且經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).
(1)求拋物線C的方程;
設(shè)點(diǎn)A,B在拋物線C上,直線PA,PB分別與y軸交于點(diǎn)M,N,|PM|=|PN|.求直線AB的斜率.
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