Question

19．已知f（$\frac{1}{2}$log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）=$\frac{x-1}{x+1}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求滿足f（2^3-2x）+$\frac{15}{17}$≤0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=$\frac{1}{2}$$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x，解得x=$（\frac{1}{4}）^t$，所以，f（t）=$\frac{（\frac{1}{4}）^t-1}{（\frac{1}{4}）^t+1}$=$\frac{1-4^t}{1+4^t}$；
（2）根據(jù)f（x）+f（-x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{1-{4}^{-x}}{1+{4}^{-x}}$=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{4^x-1}{4^x+1}$=0，得出f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）單遞減解不等式f（2^3-2x）+$\frac{15}{17}$≤0即可．

解答 解：（1）令t=$\frac{1}{2}$$lo{g}_{\frac{1}{2}}$x，解得x=$（\frac{1}{2}）^{2t}$=$（\frac{1}{4}）^t$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}$
所以，f（t）=$\frac{（\frac{1}{4}）^t-1}{（\frac{1}{4}）^t+1}$=$\frac{1-4^t}{1+4^t}$，故f（x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$，x∈R；
（2）∵f（x）+f（-x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{1-{4}^{-x}}{1+{4}^{-x}}$=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$+$\frac{4^x-1}{4^x+1}$=0，
∴f（-x）=-f（x），因此，f（x）為奇函數(shù)；
（3）∵f（x）=$\frac{1-4^x}{1+4^x}$=-1+$\frac{2}{1+4^x}$，∴f（x）在R上單調(diào)遞減，
且f（2）=$\frac{1-16}{1+16}$=-$\frac{15}{17}$，所以不等式f（2^3-2x）+$\frac{15}{17}$≤0可寫成：
f（2^3-2x）≤-$\frac{15}{17}$=f（2），再根據(jù)單調(diào)遞減得，2^3-2x≥2，解得x≤1，
故x的取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)解析式的解法，函數(shù)奇偶性的判斷，以及運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式，屬于中檔題．