14.設(shè)集合M={-1,0,1},集合An={(x1,x2,x3,…,xn)|xi∈M,i=1,2…,n},集合An中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+…+|xn|≤m”的元素個數(shù)記為${S}_{m}^{n}$.
(1)求${S}_{2}^{2}$和${S}_{2}^{4}$的值;
(2)當m<n時,求證:${S}_{m}^{n}$<3n+2m+1-2n+1

分析 (1)根據(jù)題意,計算${S}_{2}^{2}$=${C}_{2}^{1}$•21+${C}_{2}^{2}$•22,${S}_{2}^{4}$=${C}_{4}^{1}$•21+${C}_{4}^{2}$•22;
(2)設(shè)集合P={0},Q={-1,1},分別求出|x1|+|x2|+…+|xn|=1,2,…,m時,x1,x2,…,xn中有多少個取自集合P,多少個取自集合Q,
計算對應(yīng)${S}_{m}^{n}$的值,再利用組合數(shù)公式即可證出結(jié)論.

解答 解:(1)根據(jù)題意,${S}_{2}^{2}$=${C}_{2}^{1}$•21+${C}_{2}^{2}$•22=8,
${S}_{2}^{4}$=${C}_{4}^{1}$•21+${C}_{4}^{2}$•22=32;
(2)設(shè)集合P={0},Q={-1,1},
若|x1|+|x2|+…+|xn|=1,即x1,x2,…,xn中有n-1個取自集合P,1個取自集合Q,
故共有${C}_{n}^{n-1}$•21種可能,即為${C}_{n}^{1}$•21
同理,若|x1|+|x2|+…+|xn|=2,即x1,x2,…,xn中有n-2個取自集合P,2個取自集合Q,
故共有${C}_{n}^{n-2}$•22種可能,即為${C}_{n}^{2}$•22;
…,
若|x1|+|x2|+…+|xn|=m,即x1,x2,…,xn中有n-m個取自集合P,m個取自集合Q,
故共有${C}_{n}^{n-m}$•2m種可能,即為${C}_{n}^{m}$•2m;
所以${S}_{m}^{n}$=${C}_{n}^{1}$21+${C}_{n}^{2}$22+…+${C}_{n}^{m}$2m
又當0≤k≤n時,${C}_{n}^{k}$≥1,所以${C}_{n}^{k}$-1≥0,
所以${S}_{m}^{n}$=${C}_{n}^{1}$21+${C}_{n}^{2}$22+…+${C}_{n}^{m}$2m<${C}_{n}^{0}$20+(${C}_{n}^{1}$21+${C}_{n}^{2}$22+…+${C}_{n}^{m}$2m)+(${C}_{n}^{m+1}$-1)•2m+1+…+(${C}_{n}^{n}$-1)•2n
=(${C}_{n}^{0}$20+${C}_{n}^{1}$21+${C}_{n}^{2}$22+${C}_{n}^{m+1}$2m+1+…+${C}_{n}^{n}$2n)-(2m+1+2m+2+…+2n
=(1+2)n-(2m+1-2n+1
=3n+2m+1-2n+1
即${S}_{m}^{n}$<3n+2m+1-2n+1

點評 本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題,也考查了集合的定義與應(yīng)用問題,考查了數(shù)學建模思想的應(yīng)用問題,是難題.

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