Question

8．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），求方向向量為$\overrightarrow j=（0，0，1）$的直線與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 求出平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），利用方向向量為$\overrightarrow j=（0，0，1）$的直線與平面ABC所成角的余弦值=sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{j}$＞，即可得出結論

解答 解：設平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），則$\left\{\begin{array}{l}{a-3b+2c=0}\\{-2a-b+3c=0}\end{array}\right.$，
取a=1，可得平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{j}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴方向向量為$\overrightarrow j=（0，0，1）$的直線與平面ABC所成角θ的余弦值cosθ=sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{j}$＞=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．