Question

中國跳水運動員進行10 m跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線為如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件）．在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面10m，入水處距池邊的距離為4 m，同時，運動員在距水面高度為5 m或5 m以上時，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤．

（1）求這條拋物線的解析式．

（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3m，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由．

（3）要使此次跳水不至于失誤，該運動員按（1）中拋物線運行，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應為多少？

 

Answer 1

（1）y=﹣x2+x．

（2）此次跳水會出現失誤．見解析

（3）4+m．

【解析】

試題分析：（1）根據題意先設出拋物線的方程，根據題意可知O，B的坐標和A的縱坐標，把（0，0）點代入拋物線方程求得c，點A的縱坐標求得a，b和c的關系把（2，﹣10）代入拋物線方程求得a，b令一關系式，聯立求得a和b，則拋物線方程可得．

（2）把x═3﹣2代入拋物線方程求得y，進而求得運動員距水面的高度，與5進行比較判斷出答案．

（3）當運動員在x軸上方，即y＞0的區(qū)域內完成動作并做好入水姿勢時，運動員很難做到．故可看當y＜0時，要使跳水不出現失誤y的范圍，進而利用二次函數的單調性求得x的范圍．

【解析】
（1）在給定的直角坐標系下，設最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．

由題意知，O、B兩點的坐標依次為（0，0）、（2，﹣10），且頂點A的縱坐標為，c=0，

所以有=，

4a+2b+c=﹣10．a=﹣，

解之得b=，c=0

或a=﹣，b=﹣2，c=0．

∵拋物線對稱軸在y軸右側，∴﹣＞0．

又∵拋物線開口向下，∴a＜0．

∴b＞0，后一組解舍去．

∴a=﹣，b=，c=0．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x．

（2）當運動員在空中距池邊的水平距離為3m時，即x=3﹣2=時，

y=（﹣）×（）2+×=﹣，

∴此時運動員距水面的高為

10﹣=＜5．

因此，此次跳水會出現失誤．

（3）當運動員在x軸上方，即y＞0的區(qū)域內完成動作并做好入水姿勢時，當然不會失誤，但很難做到．

∴當y＜0時，要使跳水不出現失誤，

則應有|y|≤10﹣5，即﹣y≤5．

∴有x2﹣x≤5，

解得2﹣≤x≤2+．

∴運動員此時距池邊的距離至多為2+2+=4+m．