Question

中國跳水運(yùn)動員進(jìn)行10 m跳臺跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線為如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）．在跳某個(gè)規(guī)定動作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動員在空中的最高處距水面10m，入水處距池邊的距離為4 m，同時(shí)，運(yùn)動員在距水面高度為5 m或5 m以上時(shí)，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．

（1）求這條拋物線的解析式．

（2）在某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為3m，問此次跳水會不會失誤？并通過計(jì)算說明理由．

（3）要使此次跳水不至于失誤，該運(yùn)動員按（1）中拋物線運(yùn)行，且運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少？

 

Answer 1

（1）y=﹣x2+x．

（2）此次跳水會出現(xiàn)失誤．見解析

（3）4+m．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)題意可知O，B的坐標(biāo)和A的縱坐標(biāo)，把（0，0）點(diǎn)代入拋物線方程求得c，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求得a，b和c的關(guān)系把（2，﹣10）代入拋物線方程求得a，b令一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則拋物線方程可得．

（2）把x═3﹣2代入拋物線方程求得y，進(jìn)而求得運(yùn)動員距水面的高度，與5進(jìn)行比較判斷出答案．

（3）當(dāng)運(yùn)動員在x軸上方，即y＞0的區(qū)域內(nèi)完成動作并做好入水姿勢時(shí)，運(yùn)動員很難做到．故可看當(dāng)y＜0時(shí)，要使跳水不出現(xiàn)失誤y的范圍，進(jìn)而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得x的范圍．

【解析】
（1）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．

由題意知，O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0）、（2，﹣10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，c=0，

所以有=，

4a+2b+c=﹣10．a(chǎn)=﹣，

解之得b=，c=0

或a=﹣，b=﹣2，c=0．

∵拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0．

又∵拋物線開口向下，∴a＜0．

∴b＞0，后一組解舍去．

∴a=﹣，b=，c=0．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x．

（2）當(dāng)運(yùn)動員在空中距池邊的水平距離為3m時(shí)，即x=3﹣2=時(shí)，

y=（﹣）×（）2+×=﹣，

∴此時(shí)運(yùn)動員距水面的高為

10﹣=＜5．

因此，此次跳水會出現(xiàn)失誤．

（3）當(dāng)運(yùn)動員在x軸上方，即y＞0的區(qū)域內(nèi)完成動作并做好入水姿勢時(shí)，當(dāng)然不會失誤，但很難做到．

∴當(dāng)y＜0時(shí)，要使跳水不出現(xiàn)失誤，

則應(yīng)有|y|≤10﹣5，即﹣y≤5．

∴有x2﹣x≤5，

解得2﹣≤x≤2+．

∴運(yùn)動員此時(shí)距池邊的距離至多為2+2+=4+m．