Question

18．已知log₆a+log₆b+log₆c=6，其中a，b，c∈N⁺，若a，b，c是遞增的等比數(shù)列，又b-a為一完全平方數(shù)，則a+b+c=111．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)求得abc=6⁶，再由等比數(shù)列的性質(zhì)求得ac=36²，由b-a為一完全平方數(shù)，且a，b，c∈N⁺，可得a=35，32，27，20，11，再由$c=\frac{3{6}^{2}}{a}$是正整數(shù)，可得a=27，c=48．則答案可求．

解答 解：∵log₆a+log₆b+log₆c=log₆（abc）=6，
∴abc=6⁶，
∵ac=b²，
∴b³=6⁶，則b=6²=36，
∴ac=36²，
∵b-a為一完全平方數(shù)，且a，b，c∈N⁺，
∴a=35，32，27，20，11，
∵$c=\frac{3{6}^{2}}{a}$是正整數(shù)，
∴a=27，c=48．
∴a+b+c=27+36+48=111．
故答案為：111．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查邏輯思維能力和推理論證能力，有一定難度．