已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為， ，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．

詳見解析．

解析試題分析：從兩個(gè)方面來證明此題：若數(shù)列為等差數(shù)列，則其前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為,即；若的前項(xiàng)和中，可根據(jù)其前項(xiàng)和求出通項(xiàng)公式，從而可以證明其為等差數(shù)列．
試題解析：證：若數(shù)列為等差數(shù)列，則其前項(xiàng)和，是關(guān)于的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為，而的前項(xiàng)和，所以；
反過來，當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和中，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)， ，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/69/1/yhkch1.png" style="vertical-align:middle;" />也符合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
綜上所述，數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．
考點(diǎn)：本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分必要條件的關(guān)系．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；
(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于的整式,使得
對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在,試說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}滿足：， ， 
（Ⅰ）求，并求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{an}前2n項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，，前項(xiàng)和為．
(Ｉ)求及；
(Ⅱ)設(shè)，，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的公差，它的前項(xiàng)和為，若，且、、成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差.且分別是等比數(shù)列的.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)均有成立，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列滿足：，.的前n項(xiàng)和為.
（Ⅰ）求 及；
（Ⅱ）若 ,（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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