Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點O為坐標(biāo)原點，點P（0，$\sqrt{2}$b），點Q為橢圓E上在第一象限內(nèi)的點．
（1）若△POQ為正三角形，求橢圓E的離心率；
（2）設(shè)點A（a，0），B（0，-b），若直線PQ與橢圓E有唯一的公共點．證明：OQ∥AB．

Answer 1

分析 （1）記OP的中點為T，通過點P位于橢圓外及△POQ為正三角形，可知QT為線段OP的中垂線，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過設(shè)直線PQ的斜率為k（k＜0），聯(lián)立直線PQ與橢圓E方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用△=0求出k與a、b的關(guān)系，并求出唯一解，利用斜率公式代入計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：依題意，點P（0，$\sqrt{2}$b）位于橢圓外，
記OP的中點為T，則T（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
∵△POQ為正三角形，
∴TQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OP，QT⊥OP，
∴Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{2}$b，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
∴$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{2}b）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}b）^{2}}{^{2}}$=1，
整理得：$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）證明：設(shè)直線PQ的斜率為k（k＜0），則直線PQ方程為：y=kx+$\sqrt{2}$b，
聯(lián)立直線PQ與橢圓E方程，消去y，得：（k²a²+b²）x²+2$\sqrt{2}$ka²bx+a²b²=0，
∵直線PQ與橢圓E有唯一的公共點，
∴△=（2$\sqrt{2}$ka²b）²-4（k²a²+b²）a²b²=0，
整理得：k²a²=b²，解得：k=-$\frac{a}$，
此時交點橫坐標(biāo)為：x=$\frac{-2\sqrt{2}k{a}^{2}b}{2（{k}^{2}{a}^{2}+^{2}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
交點縱坐標(biāo)為y=k•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∵k_OQ=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}b-0}{\frac{\sqrt{2}}{2}a-0}$=$\frac{a}$=$\frac{0-（-b）}{a-0}$=k_AB，
∴OQ∥AB．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．