Question

13．已知函數(shù)f（x）=|xe^x|-m（m∈R）有三個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=|xe^x|-m（m∈R）有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程|xe^x|=m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即y=m與函數(shù)y=|xe^x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)法分析f（x）=xe^x的單調(diào)性和極值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)折變換畫(huà)出函數(shù)y=|xe^x|的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=|xe^x|-m（m∈R）有三個(gè)零點(diǎn)，令g（x）=xe^x，則g′（x）=（1+x）e^x，
當(dāng)x＜-1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞-1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）=xe^x在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，+∞）上是減函數(shù)，
g（-1）=-$\frac{1}{e}$，
又由x＜0時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，
故函數(shù)y=|xe^x|的圖象如下圖所示：

故當(dāng)m∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，y=m與函數(shù)y=|xe^x|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
即方程|xe^x|=m有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
故m的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)，函數(shù)的極值的求法，其中結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)折變換畫(huà)出函數(shù)y=|xe^x|的圖象，是解答的關(guān)鍵．