Question

已知函數f（x）=x³對應的曲線在點（a_k，f（a_k））（k∈N^*）處的切線與x軸的交點為（a_k+1，0），若a₁=1，則

f( 3 a1 )+f( 3 a2 )+…+f( 3 a10 )

1-( 2 3 )10

=

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,等差數列與等比數列

分析：求出函數的導數，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線方程，再令y=0，結合等比數列的定義可得，數列{a_n}是首項a₁=1，公比q=

2

3

的等比數列，再由等比數列的求和公式計算即可得到所求值．

解答： 解：由f'（x）=3x²得曲線的切線的斜率k=3

a

2 k

，
故切線方程為y-

a

3 k

=3

a

2 k

(x-ak)，
令y=0得ak+1=

2

3

ak⇒

ak+1

ak

=

2

3

，
故數列{a_n}是首項a₁=1，公比q=

2

3

的等比數列，
又f(

3	a1

)+f(

3	a2

)+…+f(

3	a10

)=a1+a2+…+a10=

a1(1-q10)

1-q

=3(1-q10)，
所以

f( 3 a1 )+f( 3 a2 )+…+f( 3 a10 )

1-( 2 3 )10

=3．
故答案為：3．

點評：本題考查導數的運用：求切線的方程，主要考查導數的幾何意義，同時考查等比數列的定義和求和公式，運用點斜式方程求得切線方程是解題的關鍵．