Question

15．已知拋物線的頂點在原點，其準線過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一個焦點，又若拋物線與雙曲線相交于點A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），B（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{6}$），求此兩曲線的方程．

Answer 1

分析 由拋物線與雙曲線相交于點A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），B（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{6}$），先求出拋物線方程為y²=4x，從而得到a²+b²=1，由此能求出雙曲線的方程．

解答 解：由題意可設拋物線方程為y²=2px，p＞0，
將$x=\frac{3}{2}$，y=$\sqrt{6}$代入得p=2，所求拋物線的方程為y²=4x，…（4分）
其準線方程為x=-1，即雙曲線的半焦距c=1，∴a²+b²=1，①，
又$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{6}{^{2}}=1$，②，
由①②可得${a}^{2}=\frac{1}{4}$，b²=$\frac{3}{4}$，
所求雙曲線的方程為4x²-$\frac{4}{3}{y}^{2}$=1．…（8分）

點評 本題考查拋物線方程和雙曲線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線和拋物線的性質的合理運用．