Question

9．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3．

（1）寫出f（x）的值域（不寫過(guò)程）；
（2）用五點(diǎn)作圖法作出f（x）在一個(gè)周期上的圖象；
（3）求f（x）的對(duì)稱軸；  
（4）求f（x）的對(duì)稱中心；
（5）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦函數(shù)的值域?qū)懗鰂（x）的值域；
（2）通過(guò)列表描點(diǎn)用五點(diǎn)作圖法作出f（x）在一個(gè)周期上的圖象；
（3）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程，求解f（x）的對(duì)稱軸；  
（4）通過(guò)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心，求解f（x）的對(duì)稱中心；
（5）利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3∈[0，-3]．
（2）列表

X	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
y	3	6	3	0	3

作出f（x）在一個(gè)周期上的圖象：

（2）對(duì)稱軸為$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
即x=$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z．
（3）令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=kπ，
即x=$-\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z
故對(duì)稱中心為（$-\frac{π}{3}$+2kπ，3）（k∈Z）
（4）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，（k∈Z）
即x∈[$\frac{2π}{3}$+4kπ，$\frac{8π}{3}$+4kπ]．（k∈Z）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性以及正弦函數(shù)對(duì)稱性，基本知識(shí)的考查．