Question

19．已知圓C：x²+y²+ax+2y+a²=0和定點(diǎn)A（1，2），要使過(guò)點(diǎn)A的圓C的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （-∞，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由題意得點(diǎn)A（1，2）在圓外，把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，利用半徑的平方大于0，點(diǎn)A到圓心的距離大于圓的半徑，解不等式組求出a取值范圍．

解答 解：∵圓C：x²+y²+ax+2y+a²=0和定點(diǎn)A（1，2），過(guò)點(diǎn)A的圓C的切線有且僅有兩條，
∴點(diǎn)A（1，2）在圓外，
故點(diǎn)A到圓心的距離大于圓的半徑． 圓C：x²+y²+ax+2y+a²=0即（x+$\frac{a}{2}$）²+（y+1）²=-$\frac{3}{4}$a²+1，
∴半徑的平方為-$\frac{3}{4}$a²+1＞0  ①，（1+$\frac{a}{2}$）²+（2+1）²＞-$\frac{3}{4}$a²+1  ②，
解①可得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解②可得  a∈R．
把①②的解集取交集得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心和半徑，兩點(diǎn)間的距離公式以及一元二次不等式的解法．