Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根據(jù)（Ⅰ）中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式可得：參數(shù)方程．
（II）設(shè)切點(diǎn)D（1+cosα，sinα），根據(jù)CD∥l，可得$\frac{sinα}{1+cosα-1}$=$\sqrt{3}$，解出即可得出．

解答 解：（I）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x=0，配方為：（x-1）²+y²=1，圓心C（1，0）．
可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，π]，α為參數(shù)）．
（II）設(shè)切點(diǎn)D（1+cosα，sinα），∵CD∥l，則$\frac{sinα}{1+cosα-1}$=$\sqrt{3}$，tanα=$\sqrt{3}$，
解得α=$\frac{π}{3}$，
∴D$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程、圓的切線的性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．