Question

1．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，CD=2，DD₁=AB=1，P，Q為CC₁，C₁D₁的中點，求證：
（1）AQ∥平面BCC₁B₁；
（2）AC∥平面BPQ．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合三角形中位線定理證明四邊形ABC₁Q為平行四邊形，從而得到AQ∥BC₁，再由線面平行的判斷得答案；
（2）取CD中點H，連接A₁C₁，B₁Q，交于E，連接AC，BH交于F，可得四邊形BHQB₁為平行四邊形，連接EF，BQ交于G，連接PG，則PG∥FC，再由線面平行的判定證明AC∥平面BPQ．

解答 證明：（1）如圖，連接BC₁，∵AB∥CD，CD∥C₁Q，∴AB∥C₁Q，
又AB=1，C₁D₁=2，Q為C₁D₁的中點，∴AB=C₁Q，
則四邊形ABC₁Q為平行四邊形，∴AQ∥BC₁，
∵AQ?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AQ∥平面BCC₁B₁；
（2）取CD中點H，連接A₁C₁，B₁Q，交于E，連接AC，BH交于F，
四邊形BHQB₁為平行四邊形，連接EF，BQ交于G，連接PG，則PG∥FC，
即AC∥PG，
∵PG?平面PBQ，AC?平面PBQ，
∴AC∥平面BPQ．

點評 本題考查線面平行的判定，證明直線和平面的平行問題，常借助于三角形的中位線證得線線平行，是中檔題．