Question

5．已知F為拋物線C：y²=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)E在射線l：x=-$\frac{1}{2}$（y≥0）上，線段EF的垂直平分線與l交于點(diǎn)Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），與拋物線C交于點(diǎn)P，則△PEQ的面積為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 先求出F坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出EF中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PQ所在直線方程，聯(lián)立拋物線方程后可得P點(diǎn)坐標(biāo)，最后可得△PEQ的面積．

解答 解：∵F為拋物線C：y²=2x的焦點(diǎn)，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），
又∵線段EF的垂直平分線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴QE=QF=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$=$\frac{5}{4}$，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{2}$，2），
則EF的中點(diǎn)為（0，1），
∴PQ所在的直線方程為：y=$\frac{1}{2}$x+1，
代入y²=2x得：x=2，y=2，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴△PEQ的面積S=$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×2$=$\frac{5}{4}$，
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是垂直平分線的性質(zhì)，直線方程，直線與拋物線的綜合應(yīng)用，三角形面積，難度中檔．