Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過拋物線上的點(diǎn)A（a，2

a

）的切線斜率等于直線AF斜率的

1

4

，則點(diǎn)A到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線的點(diǎn)A，可得p=2，求出y=2

x

的導(dǎo)數(shù)，可得點(diǎn)A處切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程即得a=2，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可得到．

解答： 解：由拋物線上的點(diǎn)A（a，2

a

），則
4a=2pa，解得，p=2．
即有拋物線方程為y²=4x，
焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
由y=2

x

的導(dǎo)數(shù)為y′=

1

x

，
則拋物線上的點(diǎn)A（a，2

a

）的切線斜率為

1

a

，
則有

1

a

=

1

4

•

2 a

a-1

，解得，a=2，
即有A到準(zhǔn)線的距離為2-（-1）=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查直線斜率公式及點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．