Question

2．己知a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$）dx，則（ax+$\frac{1}{2ax}$）⁹展開式中，x的一次項系數為（　　）

• A． -$\frac{63}{16}$
• B． $\frac{63}{16}$
• C． -$\frac{63}{8}$
• D． $\frac{63}{8}$

Answer 1

分析 首先由定積分求出a，然后利用二項式定理求展開式通項，得到所求．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$）dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（1-2sin²$\frac{x}{2}$）dx=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cosx）dx=$\frac{1}{2}$sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
則（$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{x}$）⁹展開式中，通項為${C}_{9}^{r}（\frac{1}{2}x）^{9-r}（\frac{1}{x}）^{r}=（\frac{1}{2}）^{9-r}{C}_{9}^{r}{x}^{9-2r}$，
所以9-2r=1時，即r=4時，x的一次項系數為$（\frac{1}{2}）^{5}{C}_{9}^{4}$=$\frac{63}{16}$；
故選：B．

點評 本題考查了定積分的計算依據二項式定理的應用；正確求出a是前提，利用展開式的通項求特征項是關鍵．