Question

13．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a（a∈R），且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)n∈N^*，試比較$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{a_{2^2}^{\;}}}+\frac{1}{{a_{2^3}^{\;}}}+…+\frac{1}{{a_{2^n}^{\;}}}$與$\frac{1}{a_1}$的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：${a_2}^2={a_1}•{a_4}$，即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，整理得：${a_1}d={d^2}$，即可d=a₁=a，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由a${a}_{{2}^{n}}$=2ⁿ•a，${T_n}=\frac{1}{a}（\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}）=\frac{1}{a}•\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a}[1-{（\frac{1}{2}）^n}]$，當(dāng)a＞0時(shí)，${T_n}＜\frac{1}{a_1}$；當(dāng)$a＜0時(shí)，{T_n}＞\frac{1}{a_1}$．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可知${a_2}^2={a_1}•{a_4}$，
即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，
∴${a_1}d={d^2}$，
∵d≠0，
∴d=a₁=a．
∴通項(xiàng)公式a_n=na．…（5分）
（Ⅱ）記${T_n}=\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2^2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}，因?yàn)閧a_{2^n}}={2^n}a$
∴${T_n}=\frac{1}{a}（\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}）=\frac{1}{a}•\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a}[1-{（\frac{1}{2}）^n}]$，
從而，當(dāng)a＞0時(shí)，${T_n}＜\frac{1}{a_1}$；
當(dāng)$a＜0時(shí)，{T_n}＞\frac{1}{a_1}$．…（5分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．