Question

已知二項式（x+a）⁴（a＞0）的展開式中x的系數(shù)為

75

8

．
（1）求a的值
（2）若（xcosθ+1）⁵的展開式中x²的系數(shù)與（x+a）⁴的展開式中x³的系數(shù)相等，求cos2θ的值．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（1）在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得展開式中x的系數(shù)，再根據(jù)展開式中x的系數(shù)為

75

8

，求得a的值．
（2）由題意利用二項展開式的通項公式可得

C

3 5

•cos²θ=

C

2 4

•a²=6•

3 150

4

，求得cos²θ 的值，可得cos2θ=2cos²θ-1的值．

解答： 解：（1）二項式（x+a）⁴（a＞0）的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 4

•x^4-r•a^r，
令4-r=1，求得r=3，可得展開式中x的系數(shù)為4a³=

75

8

，a=

3 150

4

．
（2）由題意可得

C

3 5

•cos²θ=

C

2 4

•a²=6•

3 150

4

，∴cos²θ=

3• 3 150

20

，
∴cos2θ=2cos²θ-1=

3• 3 150 -10

10

．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．