Question

17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c=2，∠C=$\frac{π}{3}$，且sinC+sin（B-A）-2sin2A=0，下列命題正確的是②③④（寫出所有正確命題的編號(hào)）．
①b=2a；
②△ABC的周長(zhǎng)為2+2$\sqrt{3}$；
③△ABC的面積為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
④△ABC的外接圓半徑為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式、二倍角公式化簡(jiǎn)已知的式子，由化簡(jiǎn)的結(jié)果進(jìn)行分類討論，由內(nèi)角的范圍、余弦定理分別解三角形，根據(jù)結(jié)果分別判斷①、②；利用三角形的面積公式求出△ABC的面積判斷③；根據(jù)正弦定理判斷④．

解答 解：由C=π-A-B的，sinC=sin（A+B），
∵sinC+sin（B-A）-2sin2A=0，
∴sin（A+B）+sin（B-A）-2sin2A=0，
化簡(jiǎn)得，sinBcosA-2sinAcosA=0，則cosA（sinB-2sinA）=0，
∴cosA=0或sinB-2sinA=0，
（1）當(dāng)cosA=0，A=$\frac{π}{2}$時(shí)，由∠C=$\frac{π}{3}$得B=$\frac{π}{6}$，
∵c=2，∴b=ctanB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）當(dāng)sinB-2sinA=0時(shí)，由正弦定理得，b=2a，
∵c=2，∠C=$\frac{π}{3}$，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
則$4={a}^{2}+{4a}^{2}-2a•2a×\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
此時(shí)滿足b²=a²+c²，即B=$\frac{π}{2}$，
對(duì)于①，當(dāng)A=$\frac{π}{2}$時(shí)，a=2b，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)A=$\frac{π}{2}$或B=$\frac{π}{2}$時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為：a+b+c=2+2$\sqrt{3}$，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)B=$\frac{π}{2}$時(shí)，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}ac$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
當(dāng)A=$\frac{π}{2}$時(shí)，$S=\frac{1}{2}bc$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，成立，
故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)A=$\frac{π}{2}$或B=$\frac{π}{2}$時(shí)，由正弦定理得2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，得R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故④正確，
綜上可得，命題正確的是②③④，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題是命題與解三角形結(jié)合的題，考查正弦定理和余弦定理，兩角和與差的正弦公式、二倍角公式的綜合應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．