【題目】已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離之和為4.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知直線和的傾斜角均為,直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與曲線相交于, 兩點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn)且與曲線是交于, 兩點(diǎn),求證:對(duì)任意, .
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)由橢圓定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡E是以定點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓,且,從而得方程;
(Ⅱ)由題設(shè)可設(shè)直線的參數(shù)方程分別為; ,將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得: ; ,由和,從而由韋達(dá)定理求解即可.
試題解析:
(Ⅰ)解: 則根據(jù)橢圓的定義得:動(dòng)點(diǎn)的軌跡E是以定點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓,且,
,
可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程為.
(Ⅱ)證明:由題設(shè)可設(shè)直線的參數(shù)方程分別為
; .
將直線的參數(shù)方程分別和橢圓聯(lián)立后整理得:
; .
則由參數(shù)t的幾何意義、根與系數(shù)的關(guān)系及橢圓的對(duì)稱性有:
;
,
故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng),決定從兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬(wàn)美元)
其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān),為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定,預(yù)計(jì).另外,年銷售件產(chǎn)品時(shí)需上交萬(wàn)美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.
(1)寫(xiě)出該廠分別投資生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,并指明其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)?請(qǐng)你做出規(guī)劃.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且時(shí),數(shù)列滿足,,對(duì)任意,都有.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)令若對(duì)任意的,不等式恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品,每年每人只要交少量保費(fèi),發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付概率).
(Ⅰ)根據(jù)規(guī)定,該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過(guò)保費(fèi)的20%,試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限;
(Ⅱ)某企業(yè)共有職工20000人,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,老板準(zhǔn)備為全體職工每人購(gòu)買一份此種保險(xiǎn),并以(Ⅰ)中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購(gòu)買,試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
求曲線C的方程;
若直線與曲線C和圓從左至右的交點(diǎn)依次為A,B,C,D求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(Ⅱ)若直線與曲線相交于, 兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的解集;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,河的兩岸分別有生活小區(qū)和,其中,三點(diǎn)共線,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),測(cè)得,,,,,若以所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系則河岸可看成是曲線(其中是常數(shù))的一部分,河岸可看成是直線(其中為常數(shù))的一部分.
(1)求的值.
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備建一座橋,其中分別在上,且,的橫坐標(biāo)為.寫(xiě)出橋的長(zhǎng)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并標(biāo)明定義域;當(dāng)為何值時(shí),取到最小值?最小值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,求證: .
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