Question

13．已知實(shí)數(shù)c＞0，設(shè)P：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，Q：關(guān)于x的一元二次方程x²-cx+$\frac{1}{8}$c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，如果命題“P∨Q”為真命題，命題“P∧Q”為假命題，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的性質(zhì)分別求出命題P，Q為真命題時(shí)的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題的真假關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：若函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，則0＜c＜1，即P：0＜c＜1，
若方程x²-cx+$\frac{1}{8}$c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則判別式△=c²-4×$\frac{1}{8}$c=c²-$\frac{1}{2}$c＞0，
得c＞$\frac{1}{2}$或c＜0，
∵c＞0，∴Q：c＞$\frac{1}{2}$，
若命題“P∨Q”為真命題，命題“P∧Q”為假命題，
則P，Q一真一假，
若P真Q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得0＜c≤$\frac{1}{2}$，
若Q真P假，則$\left\{\begin{array}{l}{c＞\frac{1}{2}}\\{c≥1}\end{array}\right.$，得c≥1，
綜上0＜c≤$\frac{1}{2}$或c≥1，
即實(shí)數(shù)c的取值范圍是0＜c≤$\frac{1}{2}$或c≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出命題為真命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．