Question

12．如圖所示，AB為圓O的直徑，D為圓O上一點，BC與圓O相切于B點，AD∥OC
（1）求證：CD為圓O的切線；（2）若圓O的半徑為R，求AD•OC的值．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由弦AD∥OC，易證得∠COB=∠COD，繼而證得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC與⊙O相切于點B，可得∠ODC=90°，即可證得CD是⊙O的切線．
（2）證明Rt△BAD∽Rt△COB，可得$\frac{AD}{OB}=\frac{AB}{OC}$，即可求AD•OC的值

解答 （1）證明：連接OD，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC與⊙O相切于點B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：連接BD
∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，
∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴$\frac{AD}{OB}=\frac{AB}{OC}$，
∴AD•OC=AB•OB=2R²．

點評 此題考查了切線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形相似的判定與性質以及平行線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．