Question

14．如圖所示，已知圓O的半徑長為4，兩條弦AC，BD相交于點E，若$BD=4\sqrt{3}$，BE＞DE，E為AC的中點，$AB=\sqrt{2}AE$．
（1）求證：AC平分∠BCD；
（2）求∠ADB的度數．

Answer 1

分析 （1）由已知可證△ABE∽△ACB，即可得到∠ABE=∠ACB，又∠ACD=∠ABE，從而證明∠ACD=∠ACB，得到結論．
（2）連接OA，則OA⊥BD，設垂足為點F，則點F為弦BD的中點，連接OB，可求cos∠AOB=$\frac{OF}{OB}$的值，進而可求∠AOB，及∠ADB的度數．

解答 解：（1）由E為AC的中點，$AB=\sqrt{2}AE$，得$\frac{AB}{AE}=\sqrt{2}=\frac{AC}{AB}$．
又∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
又∠ACD=∠ABE，
∴∠ACD=∠ACB，
故AC平分∠BCD．
（2）連接OA，由點A是弧BAD的中點，則OA⊥BD，
設垂足為點F，則點F為弦BD的中點，$BF=2\sqrt{3}$，
連接OB，則$OF=\sqrt{O{B^2}-B{F^2}}=\sqrt{{4^2}-{{（2\sqrt{3}）}^2}}=2$，
∴$cos∠AOB=\frac{OF}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，∠AOB=60°．
∴$∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB={30}$°．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定及性質，考查了數形結合思想和推理論證能力，屬于中檔題．