Question

6．傾斜角為60°的一束平行光線，將一個半徑為$\sqrt{3}$的球投影在水平地面上，形成一個橢圓，若以該橢圓的中心為原點，長軸所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）求橢圓的標(biāo)準方程；
（2）若經(jīng)過原點的直線交橢圓于A、B兩點，且C（-4，0），求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在平行光線照射過程中，橢圓的短半軸長是圓的半徑，如圖，橢圓的長半軸長是DE，過D向AE做垂線，垂足是C，得到一個直角三角形，得到DE的長，求得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），求得向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，運用橢圓的范圍，可得最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
在照射過程中，橢圓的短半軸長b是圓的半徑R，
可得b=$\sqrt{3}$，
橢圓的長軸長2a是DE，過D向AE做垂線，垂足是C，
由題意得：DC=2R=2$\sqrt{3}$，∠CED=60°，
可得：DE=$\frac{DC}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4．
即2a=4，即a=2，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），
即有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（m+4，n）•（-m+4，-n）
=16-m²-n²，
m²+n²表示原點與點（m，n）的距離的平方，
由橢圓的范圍可得原點與（m，n）的距離的最小值為$\sqrt{3}$，最大值為2，
即有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最小值為16-4=12，最大值為16-3=13．
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范圍是[12，13]．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用投影的特點，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運用橢圓的范圍，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．