Question

6．傾斜角為60°的一束平行光線，將一個(gè)半徑為$\sqrt{3}$的球投影在水平地面上，形成一個(gè)橢圓，若以該橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若經(jīng)過原點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且C（-4，0），求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在平行光線照射過程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)是圓的半徑，如圖，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是DE，過D向AE做垂線，垂足是C，得到一個(gè)直角三角形，得到DE的長(zhǎng)，求得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），求得向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，運(yùn)用橢圓的范圍，可得最值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
在照射過程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)b是圓的半徑R，
可得b=$\sqrt{3}$，
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a是DE，過D向AE做垂線，垂足是C，
由題意得：DC=2R=2$\sqrt{3}$，∠CED=60°，
可得：DE=$\frac{DC}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4．
即2a=4，即a=2，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），
即有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（m+4，n）•（-m+4，-n）
=16-m²-n²，
m²+n²表示原點(diǎn)與點(diǎn)（m，n）的距離的平方，
由橢圓的范圍可得原點(diǎn)與（m，n）的距離的最小值為$\sqrt{3}$，最大值為2，
即有$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的最小值為16-4=12，最大值為16-3=13．
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的取值范圍是[12，13]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用投影的特點(diǎn)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用橢圓的范圍，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．