Question

已知數(shù)列f（2x）=af（x）+b滿足：對任意n∈N^*均有a_n+1=pa_n+3p-3（p為常數(shù)，p≠0且p≠1），若a₂，a₃，a₄，a₅∈{-19，-7，-3，5，10，29}，則a₁所有可能值的集合為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：從{-19，-7，-3，5，10，29}中任取兩值作為a₂，a₃的值，求出p．從而求出a₄，a₅，由此能求出a₁所有可能值的集合．

解答： 解：（1）取a₂=-19，a₃=-7時，
-7=-19p+3p-3，解得p=

1

4

，
a4=

1

4

×(-7)+3×

1

4

-3=-4，不成立；
（2）取a₂=-19，a₃=-3時，
-3=-19p+3p-3，解得p=0，
a₄=-3，此時a₁=-3；
（3）取a₂=-19，a₃=5時，
5=-19p+3p-3，解得p=-

1

2

，
a₄=5×(-

1

2

)+3×(-

1

2

)-3=-7，
a₅=-7×(-

1

2

)+3×(-

1

2

)-3=-1，不成立；
（4）取a₂=-19，a₃=10時，
10=-19p+3p-3，解得p=-

13

16

，
a₄=10×(-

13

16

)+3×(-

13

16

)-3=-

217

16

，不成立；
（5）取a₂=-19，a₃=29時，
29=-19p+3p-3，解得p=-2，
a₄=29×（-2）+3×（-2）-3=-67，不成立；
（6）取a₂=-7，a₃=-3時，
-3=-7p+3p-3，解得p=0，
a₄=-3，此時a₁=-3；
（7）取a₂=-7，a₃=5，
得5=-7p+3p-3，解得p=-2，
∴a₄=-2×5-3×2-3=-19，
a₅=-19×（-2）-3×2-3=29，
∴-7=-2a₁-3×2-3，解得a₁=-1；
（8）取a₂=-7，a₃=10時，
10=-7p+3p-3，解得p=-

13

4

，
a4=10×

13

4

+3×

13

4

-3=

157

4

，不成立；
（9）取a₂=-7，a₃=29時，
29=-7p+3p-3，解得p=-8，
a₄=29×（-8）+3×（-8）-3=-259，不成立；
（10）取a₂=-7，a₃=-19時，
-19=-7p+3p-3，解得p=4，
a₄=-19×4+3×4-3=-67，不成立；
（11）取a₂=-3，a₃=-19時，
-19=-3p+3p-3，不成立；
（12）取a₂=-3，a₃=-7時，
-7=-3p+3p-3，不成立；
（13）取a₂=-3，a₃=5時，
5=-3p+3p-3，不成立；
（14）取a₂=-3，a₃=10時，
10=-3p+3p-3，不成立；
（15）取a₂=-5，a₃=29時，
29=-3p+3p-3，不成立；
（16）取a₂=5，a₃=-19時，
-19=5p+3p-3，解得p=-2，
a₄=-19×（-2）+3×（-2）-3=29，
a₅=29×（-2）+3×（-2）-3=-67，不成立；
（17）取a₂=5，a₃=-7時，
-7=5p+3p-3，解得p=-

1

2

，
a4=-7×(-

1

2

)+3×(-

1

2

)-3=-1，不成立；
（18）取a₂=5，a₃=-3時，
-3=5p+3p-3，解得p=0，
a₄=-3，此時a₁=-3；
（19）取a₂=5，a₃=10時，
10=5p+3p-3，解得p=

13

8

，
a4=10×

13

8

+3×

13

8

-3=

145

8

，不成立；
（20）取a₂=5，a₃=29時，
29=5p+3p-3，解得p=4，
a₄=29×4+3×4-3=125，不成立；
（21）取a₂=10，a₃=-19時，
-19=10p+3p-3，解得p=-

16

13

，
a4=-19×(-

16

13

)+3×(-

16

13

)-3=-

295

13

，不成立；
（22）取a₂=10，a₃=-7時，
-7=10p+3p-3，解得p=-

4

13

，
a₄=-7×(-

4

13

)+3×(-

4

13

)-3=-

55

13

，不成立；
（23）取a₂=10，a₃=-3時，
-3=10p+3p-3，解得p=0，
a₄=-3，此時a₁=-3；
（24）取a₂=10，a₃=5時，
5=10p+3p-3，解得p=

8

13

，
a₄=5×

8

13

+3×

8

13

-3=

29

13

，不成立；
（25）取a₂=10，a₃=29時，
29=10p+3p-3，解得p=

32

13

，
a₄=29×

32

13

+3×

32

13

-3=

985

13

，不成立；
（26）取a₂=29，a₃=-19時，
-19=29p+3p-3，解得p=-

1

2

，
a4=-19×(-

1

2

)+3×(-

1

2

)-3=5，
a5=5×(-

1

2

)+3×(-

1

2

)-3=-7，
29=-

1

2

a1-3×

1

2

-3，解得a₁=-67；
（27）取a₂=29，a₃=-7時，
-7=29p+3p-3，解得p=-

1

8

，
a₄=-7×(-

1

8

)+3×(-

1

8

)-3=-

5

2

，不成立；
（28）取a₂=29，a₃=5時，
5=29p+3p-3，解得p=

1

4

，
a₄=5×

1

4

+3×

1

4

-3=1，不成立；
（29）取a₂=29，a₃=10時，
10=29p+3p-3，解得p=

13

32

，
a₄=10×

13

32

+3×

13

32

-3=

65

16

，不成立；
（30）取a₂=29，a₃=-3時，
-3=29p+3p-3，解得p=0，
a₄=-3，此時a₁=-3．
綜上所述，a的集合為{-1，-3，-67}．
故答案為：{-1，-3，-67}．

點評：本題考查滿足條件的集合的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意分類討論思想的合理運用．