Question

已知函數(shù)f（x）=

x+b

ax2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（

1

3

）=

3

10

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）解不等式：f（2t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及條件即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

x+b

ax2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即b=0，
又f(

1

3

)=

3

10

，所以a=1，所以f(x)=

x

x2+1

；
（2）證明：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＞x₂，
則f(x1)-f(x2)=

(x1x2-1)(x2-x1)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
因?yàn)閤₁，x₂∈（-1，1），且x₁＞x₂，所以x₁x₂-1＜0，x₂-x₁＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）因?yàn)閒（2t-1）+f（t）＜0，所以f（2t-1）＜f（-t），
所以

2t-1＜-t -1＜2t-1＜1 -1＜t＜1

，解得0＜t＜

1

3

，
所以不等式解集為{t|0＜t＜

1

3

}．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．