Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2AB=2BC．BC∥AD，AB⊥AD．
（1）若點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，求證：CE∥平面PAB；
（2）在平面PAC內(nèi)，AF⊥PC．求證：AF⊥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PA的中點(diǎn)為G，連接BG、EG，得到四邊形BGEC為平行四邊形，所以EC∥BG；
（2）因?yàn)锳B⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易證得CD⊥AC．判斷CD⊥平面PAC，得到CD⊥AF結(jié)合已知和線面平行的判定定理解得．

解答：
證明：（1）取PA的中點(diǎn)為G，連接BG、EG，則EG∥

1

2

AD，EG=

1

2

AD，------------（1分）
又BC∥AD，BC=

1

2

AD，所以EG∥BC，EG=BC，四邊形BGEC為平行四邊形．-------------（2分）
所以EC∥BG．----------------------------------------（3分）
又EC?平面PAB，BG?平面PAB，
故EC∥平面PAB．----------------------------------------（5分）
（2）因?yàn)锳B⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易證得CD⊥AC．-----------------------（8分）
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因?yàn)镻A∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．----（10分）
而AF?平面PAC，所以CD⊥AF．又已知AF⊥PC
又因?yàn)镃D∩PC=C，所以AF⊥平面PCD．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理的運(yùn)用關(guān)鍵是熟練定理和性質(zhì)的運(yùn)用．