【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的上一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線與直線交于點(diǎn)，求面積的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,根據(jù)等腰直角三角形及橢圓的幾何性質(zhì)可得,從而可得，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2））設(shè)， ，則，先求出當(dāng)時(shí)的面積，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．即，直線的方程為根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式以及兩點(diǎn)間的距離公式可得，利用基本不等式可得面積的最小值．

試題解析：（1）由題意，得 解得．

所以橢圓的方程為．

（2）設(shè)， ，則．

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)， 點(diǎn)坐標(biāo)為或，

．

②當(dāng)時(shí)，直線的方程為．即，

直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離為

， ．

所以， ．

又，

所以

且，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

綜上，當(dāng)時(shí)， 取得最小值1.

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖，在四棱柱中， 平面,底面為梯形， , ， ，點(diǎn)， 分別為， 的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值是，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上

（）求的方程．

（）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為，

證明： 過(guò)定點(diǎn)．

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【題目】(2017·北京高考)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD.

(1)證明：A1O∥平面B1CD1；

(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，且 .

（1）數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)， , 是直線上任意一點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)，記橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)為，那么下列結(jié)論正確的是

A. 與一一對(duì)應(yīng) B. 函數(shù)是增函數(shù)

C. 函數(shù)無(wú)最小值，有最大值 D. 函數(shù)有最小值，無(wú)最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推. 設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為,

規(guī)定：若 ,使得（ ），則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.

（Ⅰ）將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫出前3個(gè)“佳冪數(shù)”；

（Ⅱ）試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（III）（i）求滿足>70的最小的“佳冪數(shù)”;

（ii）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)的切線方程；

（2）若對(duì)， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，記.

（1）求證： 在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，記在內(nèi)的實(shí)根為.求證： .

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