【題目】已知橢圓 的右焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點為橢圓的上一點,過原點且垂直于的直線與直線交于點,求面積的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由右焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,根據(jù)等腰直角三角形及橢圓的幾何性質(zhì)可得,從而可得,進而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2))設(shè), ,則,先求出當(dāng)時的面積,當(dāng)時,直線的方程為.即,直線的方程為根據(jù)點到直線距離公式以及兩點間的距離公式可得,利用基本不等式可得面積的最小值.
試題解析:(1)由題意,得 解得.
所以橢圓的方程為.
(2)設(shè), ,則.
①當(dāng)時,點, 點坐標(biāo)為或,
.
②當(dāng)時,直線的方程為.即,
直線的方程為.
點到直線的距離為
, .
所以, .
又,
所以
且,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,
綜上,當(dāng)時, 取得最小值1.
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【題目】如圖,在四棱柱中, 平面,底面為梯形, , , ,點, 分別為, 的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使與平面所成角的正弦值是,若存在,求的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上
()求的方程.
()設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點,若直線與直線的斜率的和為,
證明: 過定點.
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【題目】(2017·北京高考)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E⊥平面ABCD.
(1)證明:A1O∥平面B1CD1;
(2)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
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【題目】已知是等差數(shù)列, 是等比數(shù)列,且 .
(1)數(shù)列和的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列前項和.
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【題目】已知點, , 是直線上任意一點,以為焦點的橢圓過點,記橢圓離心率關(guān)于的函數(shù)為,那么下列結(jié)論正確的是
A. 與一一對應(yīng) B. 函數(shù)是增函數(shù)
C. 函數(shù)無最小值,有最大值 D. 函數(shù)有最小值,無最大值
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【題目】已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, ,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推. 設(shè)該數(shù)列的前項和為,
規(guī)定:若 ,使得( ),則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.
(Ⅰ)將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列,直接寫出前3個“佳冪數(shù)”;
(Ⅱ)試判斷50是否為“佳冪數(shù)”,并說明理由;
(III)(i)求滿足>70的最小的“佳冪數(shù)”;
(ii)證明:該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無數(shù)個.
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【題目】已知函數(shù),記.
(1)求證: 在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù);
(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根,記在內(nèi)的實根為.求證: .
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