Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在與y軸的交點A處的切線斜率為-1．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，e^x＞x²+1；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n∈N^*時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

(n+1)3

(3e)n

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)學(xué)歸納法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的f′（x）=e^x-a．通過f′（x）=e^x-2＞0，即可求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，化簡f（x）≥1-ln4．構(gòu)造g（x）=e^x-x²-1，通過g′（x）＞0．判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到g（x）＞g（0），推出結(jié)果．
（Ⅲ）首先證明：當(dāng)x＞0時，恒有ex＞

1

3

x3．令h(x)=ex-

1

3

x3，則h′（x）=e^x-x²．推出h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

(n+1)3

3nen

．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，所以a=2．所以f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2．
由f'（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)min=f(ln2)=eln2-2ln2-1=1-ln4．
所以f（x）≥1-ln4，即e^x-2x-1≥1-ln4，e^x-2x≥2-ln4＞0．
令g（x）=e^x-x²-1，則g'（x）=e^x-2x＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）=e^x-x²-1＞g（0）=0，即e^x＞x²+1．…（8分）
（Ⅲ）首先證明：當(dāng)x＞0時，恒有ex＞

1

3

x3．
證明如下：令h(x)=ex-

1

3

x3，則h'（x）=e^x-x²．
由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞0時，e^x＞x²，所以h（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（0）=1＞0，所以ex＞

1

3

x3．
所以x＞ln(

1

3

x3)，即x+ln3＞3lnx．
依次取x=

2

1

，

3

2

，…，

n+1

n

，代入上式，則

2

1

+ln3＞3ln

2

1

，

3

2

+ln3＞3ln

3

2

，…

n+1

n

+ln3＞3ln

n+1

n

．
以上各式相加，有

2

1

+

3

2

+…+

n+1

n

+nln3＞3ln(

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

)
所以n+(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+nln3＞3ln(n+1)，
所以1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞3ln(n+1)-nln3-n，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln

(n+1)3

3nen

．…（14分）
另解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造法以及累加法的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．是難題．