Question

已知點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2），平面區(qū)域D是所有滿足

AP

=λ

AB

+μ

AC

（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的點(diǎn)P（x，y）組成的區(qū)域．若區(qū)域D的面積為8，則4a+b的最小值為 （　�。�

• A、5
• B、4

  2

• C、9
• D、5+4

  2

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,平面向量的基本定理及其意義

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：如圖所示，延長AB到點(diǎn)N，延長AC到點(diǎn)M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點(diǎn)P（x，y）組成的區(qū)域D為圖中的四邊形EFGH及其內(nèi)部．利用向量的夾角公式可得cos∠CAB=

AC • AB

| AC || AB |

，利用四邊形EFGH的面積S=(a-1)

10

×(b-1)×

10

×

4

5

=8，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，
延長AB到點(diǎn)N，延長AC到點(diǎn)M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，則四邊形ABEC，ANGM，EHGF均為平行四邊形．由題意可知：點(diǎn)P（x，y）組成的區(qū)域D為圖中的四邊形EFGH及其內(nèi)部．
∵

AB

=（3，1），

AC

=（1，3），

BC

=（-2，2），∴|

AB

|=

10

，|

AC

|=

10

，|

BC

|=2

2

．
∴cos∠CAB=

AC • AB

| AC || AB |

=

6

10 × 10

=

3

5

，sin∠CAB=

4

5

．
∴四邊形EFGH的面積S=(a-1)

10

×(b-1)×

10

×

4

5

=8，
∴（a-1）（b-1）=1，即

1

a

+

1

b

=1．
∴4a+b=（4a+b）(

1

a

+

1

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=3時(shí)取等號．
∴4a+b的最小值為9．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了向量的夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行四邊形的面積計(jì)算公式、基本不等式 的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．