Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD=2．M為CD的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．點O是線段AM的中點．
（Ⅰ）求證：平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）求三棱錐C-DMB的體積；
（Ⅲ）過D點是否存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：①l?平面BCD；②l∥AM．請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由面面垂直的性質(zhì)可得DO⊥平面ABCM，故而平面DOB⊥平面ABCM；
（II）以BCM為棱錐的底面，則棱錐的高為DO，求出DO代入體積公式計算即可；
（III）假設(shè)存在直線l滿足條件，則利用線面平行的性質(zhì)和判斷得出l∥AM∥BC，得出矛盾．

解答 證明：（I）∵AD=DM，點O是線段AM的中點，
∴DO⊥AM，
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，DO?平面ADM，
∴DO⊥平面ABCM，又DO?平面DOM，
∴平面DOB⊥平面ABCM．
（II）∵AD=DM=1，∠ADM=$\frac{π}{2}$，M為CD的中點．
∴AM=$\sqrt{2}$，DO=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵DO⊥平面ABCM，
∴V_C-DMB=V_D-BCM=$\frac{1}{3}$S_△BCM•DO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
（III）過D點不存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：①l?平面BCD；②l∥AM．
理由如下：（反證法）
假設(shè)過D點存在一條直線l滿足條件，
∵l∥AM，l?平面ABCM，AM?平面ABCM，
∴l(xiāng)∥平面ABCM；
又∵l?平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，
∴l(xiāng)∥BC，
∴AM∥BC，與AM，BC是相交直線矛盾，
故不存在這樣的直線l．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．