Question

1．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，底面邊長(zhǎng)為3，若O為底面A₁B₁C₁的中心，則OA與平面ABC所成角的大小為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用體積公式計(jì)算棱柱的高，計(jì)算tan∠A₁OA得出OA與平面A₁B₁C₁所角的大小即為OA與平面ABC所成角的大小．

解答 解：連結(jié)OA，OA₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴∠A₁OA為OA與平面A₁B₁C₁所成的角．
∵O是正三角形A₁B₁C₁的中心，A₁B₁=3，
∴A₁O=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=$\sqrt{3}$，
∵V_棱柱=S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$•AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×A{A}_{1}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，∴AA₁=1．
∴tan∠A₁OA=$\frac{A{A}_{1}}{{A}_{1}O}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A₁OA=$\frac{π}{6}$，
∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴OA與平面ABC所成角的大小為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱柱的體積公式，線面角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．