Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-1-a_n=2a_n-1•a_n（n≥2，n∈N^*），則a_n=$\frac{1}{2n+1}$；a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{n}{6n+9}$．

Answer 1

分析 通過對a_n-1-a_n=2a_n-1•a_n（n≥2，n∈N^*）變形可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，進而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為3、公差為2的等差數(shù)列，從而可知a_n=$\frac{1}{2n+1}$，進而裂項可知a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n-1-a_n=2a_n-1•a_n（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=2，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為3、公差為2的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3+2（n-1）=2n+1，a_n=$\frac{1}{2n+1}$，
又∵a_na_n+1=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{n}{6n+9}$，
故答案為：$\frac{1}{2n+1}$，$\frac{n}{6n+9}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．