Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）證明：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（3）求三棱錐P-AEF體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，由中位線定理可得EF∥PC，故EF∥平面PAC；
（2）由PA⊥平面ABCD得PA⊥BC，又AB⊥BC得BC⊥平面PAB，故BC⊥AF，由PA=AB得AF⊥PB，故而AF⊥平面PBC，于是AF⊥PE；
（3）當(dāng)E與C重合時(shí)，三棱錐E-PAB的體積最大，即P-AEF體積最大．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF∥平面PAC．
∵E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點(diǎn)，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=B，
∴BC⊥平面PAB，∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，
∵PA=AB，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，
∴AF⊥PB．
又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC．∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．
（3）V_P-AEF=V_E-PAF=$\frac{1}{3}{S}_{△PAE}•EB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×EB$=$\frac{1}{12}EB$．
∴當(dāng)EB=EC=AD=$\sqrt{3}$時(shí)，三棱錐P-AEF的體積取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．