Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{7}{8}$，且a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n$+\frac{1}{3}$，n∈N^*，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），從而可得數(shù)列{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n$+\frac{1}{3}$，
∴a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
又∵a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$＞0，
∴數(shù)列{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{5}{12}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故a_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{5}{12}$•$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．