Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x-b}$+c（b＜-1，c∈R），函數(shù)g（x）=|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M．
（1）若b=-2，求M的值；
（2）若M≥k對(duì)任意的b，c恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）b=-2時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x+2}$+c=x+2+$\frac{1}{x+2}$+c-2，從而結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知c≤x+2+$\frac{1}{x+2}$+c-2≤c+1+$\frac{1}{3}$，從而分類討論確定M的值；
（2）化簡(jiǎn)f（x）=x-b+$\frac{1}{x-b}$+b+c，可得轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x-b+$\frac{1}{x-b}$在[-1，1]上的最大值與最小值的差值的最小值，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知b=-$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在[-b-1，-b+1]上的最大值與最小值的差值有最小值，從而解得．

解答 解：（1）b=-2時(shí)，f（x）=x+$\frac{1}{x+2}$+c=x+2+$\frac{1}{x+2}$+c-2，
∵-1≤x≤1，
∴1≤x+2≤3，
∴2≤x+2+$\frac{1}{x+2}$≤3+$\frac{1}{3}$，
∴c≤x+2+$\frac{1}{x+2}$+c-2≤c+1+$\frac{1}{3}$，
①當(dāng)c≤-$\frac{2}{3}$時(shí)，|c|≥|c+$\frac{4}{3}$|，
故M=|c|；
②當(dāng)c＞-$\frac{2}{3}$時(shí)，|c|＜|c+$\frac{4}{3}$|，
故M=|c+$\frac{4}{3}$|；
故M=$\left\{\begin{array}{l}{-c，c≤-\frac{2}{3}}\\{c+\frac{4}{3}，c＞-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x-b+$\frac{1}{x-b}$+b+c，
易知，對(duì)任意b，若d≤x-b+$\frac{1}{x-b}$≤e，
則存在c，使d+b+c=-（e+b+c），
以使M取得最小值；
故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=x-b+$\frac{1}{x-b}$在[-1，1]上的最大值與最小值的差值的最小值，
即函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在[-b-1，-b+1]上的最大值與最小值的差值的最小值，
結(jié)合對(duì)勾函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的性質(zhì)知，
當(dāng)-b-1+$\frac{1}{-b-1}$=-b+1+$\frac{1}{-b+1}$，即b=-$\sqrt{2}$時(shí)，
函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在[-b-1，-b+1]上的最大值與最小值的差值有最小值
$\sqrt{2}$-1+$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$-2=2$\sqrt{2}$-2，
故當(dāng)b，c任意時(shí)，M的最小值為$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-2）=$\sqrt{2}$-1；
故k的最大值為$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)勾函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想與轉(zhuǎn)化思想及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．