Question

17．如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F(xiàn)，G分別為BC，PC，AB，PA的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求證：FG∥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABC得出PA⊥AC，故而AC⊥平面PAB，從而得出AC⊥PB；
（2）利用中位線定理得出DE∥PB，F(xiàn)G∥PB，故DE∥FG，于是FG∥平面ADE．

解答 證明：（1）∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC．
PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC，
又AB?平面PAB，PA?平面PAB，AB∩PA=A，
∴AC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AC⊥PB．
（2）∵D，E，F(xiàn)，G分別為BC，PC，AB，PA的中點，
∴DE∥PB，F(xiàn)G∥PB，
∴DE∥FG，又DE?平面ADE，F(xiàn)G?平面ADE，
∴FG∥平面ADE．

點評 本題考查了項目垂直的判斷與性質(zhì)，線面平行的判定定理，屬于中檔題．