Question

5．已知復(fù)數(shù)${z_1}=\frac{3}{a+2}+（{a^2}-3）i$，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若z₁∈R，求a的值；
（2）若復(fù)數(shù)z₁-z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的基本概念，虛部為0，求解即可．
（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，列出不等式組求解即可．

解答 解：（1）復(fù)數(shù)${z_1}=\frac{3}{a+2}+（{a^2}-3）i$，z₁∈R，可得a²-3=0，
解得：$a=±\sqrt{3}$；
（2）由條件復(fù)數(shù)${z_1}=\frac{3}{a+2}+（{a^2}-3）i$，z₂=2+（3a+1）i
得，${z_1}-{z_2}=（\frac{3}{a+2}-2）+（{a^2}-3a-4）i$
因?yàn)閦₁-z₂在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，
故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{a+2}-2＞0\\{a^2}-3a-4＞0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2＜a＜-\frac{1}{2}\\ a＞4或a＜-1\end{array}\right.$，
解得-2＜a＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力．