Question

10．在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，令$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$（x，y∈R）．現(xiàn)給出下面結(jié)論：
①當(dāng)x=$\frac{1}{3}，y=\frac{1}{3}$時(shí)，點(diǎn)D是△ABC的重心；
②記△ABD，△ACD的面積分別為S_△ABD，S_△ACD，當(dāng)x=$\frac{4}{5}，y=\frac{3}{5}$時(shí)，$\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△ACD}}}}=\frac{3}{4}$；
③若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部（不含邊界），則$\frac{y+1}{x+2}$的取值范圍是$（\frac{1}{3}，1）$；
④若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AE}$，其中點(diǎn)E在直線BC上，則當(dāng)x=4，y=3時(shí)，λ=5．
其中正確的有①②③（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 ①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，判斷$\overrightarrow{AD}$是否與$\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$相等即可；
②設(shè)$\overrightarrow{AP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow$，將△ABD，△ACD的面積轉(zhuǎn)化為△APD，△AQD的面積來表示；
③求出x，y的范圍，利用線性規(guī)劃知識求出$\frac{y+1}{x+2}$的范圍；
④用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AE}$，根據(jù)共線定理解出λ．

解答 解：①設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
當(dāng)x=y=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$，
∴D為AM靠近M的三等分點(diǎn)，故D為△ABC的重心．故①正確．
②設(shè)$\overrightarrow{AP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow$，則S_△APD=$\frac{4}{5}$S_△ABD，S_△AQD=$\frac{3}{5}$S_△ACD，
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$，∴S_△APD=S_△AQD，即$\frac{4}{5}$S_△ABD=$\frac{3}{5}$S_△ACD，
∴$\frac{{{S_{△ABD}}}}{{{S_{△ACD}}}}=\frac{3}{4}$，故②正確．
③∵D在△ABC的內(nèi)部，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{0＜x+y＜1}\end{array}\right.$，作出平面區(qū)域如圖所示：

令$\frac{y+1}{x+2}$=k，則k為過點(diǎn)N（-2，-1）的點(diǎn)與平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的直線的斜率．
∴k的最小值為k_NS=$\frac{1}{3}$，最大值為k_NR=1．故③正確．
④當(dāng)x=4，y=3時(shí)，$\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow$，
∵$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{λ}\overrightarrow{a}+\frac{3}{λ}\overrightarrow$，
∵E在BC上，∴$\frac{4}{λ}+\frac{3}{λ}$=1，λ=7，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查了 平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，三角形重心的性質(zhì)，線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．