Question

【題目】某學校有n個班（n為給定正整數(shù)），且每班的男生與女生人數(shù)至多相差1．現(xiàn)該學校進行乒乓球比賽，規(guī)則如下：同一班的選手之間不比賽，不同班的每兩名選手都比賽一場．我們稱在同性別選手間的比賽為同打，異性別選手間的比賽為異打．若同打場數(shù)與異打場數(shù)至多相差1，求有奇數(shù)名學生的班級至多有多少個？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設有奇數(shù)名學生的班最多有m個，，k為正整數(shù)，r為非負整數(shù)且．

當時，；

當時，：

當且時，．

記這n個班為，且班有個男生，個女生，并設，．

則且m為中不為0的個數(shù)，這里班有奇數(shù)名學生即．

于是，同打場數(shù)為，異打場數(shù)為．

由題意知 或．

若，則不考慮班，此時對結論無影響（此班學生數(shù)為偶數(shù)）．

于是由m的性質知最后恰有m個不為0不妨設班學生數(shù)為奇數(shù)．故只要在及或的條件下，求m所能取到的最大值．

設有x個為1，y個為．則且或，這里．

當時，由m或或為平方數(shù)知，故．令，時，，故此時所求m為．

當時，由及令，時，，知此時所求m為n．

同理，時有．

當且時，由m或或為完全平方數(shù)知：

若m為平方數(shù)，則為最大值：若為平方數(shù)，則為最大值；若為平方數(shù)，則為最大值．

由m的性質知，，令，其余的為時取到．

綜上即得結論．