在△ABC中，內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，已知a=csinB+bcosC，b=
2
，則△ABC面積的最大值為
 
．
考點：正弦定理
專題：解三角形
分析：已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，求出tanB的值，確定出B的度數(shù)，利用余弦定理列出關系式，把b，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．
解答： 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=
π
4
，
由余弦定理得到：b2=a2+c2-2accosB，即2=a2+c2-
2
ac，
∴2+
2
ac=a2+c2≥2ac，即ac≤
2
2-
2
=2+
2
，
當且僅當a=c，即a=c=
2+
2
時取“=”，
∵S△ABC=
1
2
acsinB=
2
4
ac，
∴△ABC面積的最大值為
1+
2
2
．
故答案為：
1+
2
2
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題中正確的有（　�。�
①設有一個回歸方程
y
=2-3x，變量x增加一個單位時，y平均增加3個單位；
②命題P：“?x0∈R，x02-x0-1＞0”的否定?P：“?x∈R，x2-x-1≤0”；
③設隨機變量X服從正態(tài)分布N（0，1），若P（X＞1）=p，則P（-1＜X＜0）=
1
2
-p；
④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得k2=6.679，則有99%的把握確認這兩個變量間有關系．
A、1個B、2個C、3個D、4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若
S6
S3
=9，則
S12
S6
=（　　）
A、9B、18C、64D、65

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：“a＜-
1
2
“是“函數(shù)f（x）=log3（x-a）+1的圖象經(jīng)過第二象限”的充分不必要條件，命題q：a，b是任意實數(shù)，若a＞b，則
1
a+1
＜
1
b+1
．則（　�。�
A、“p且q”為真
B、“p或q”為真
C、p假q真
D、p，q均為假命題

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)x，y滿足條件
(x-1)2+(y-3)2
=
|x+y+1|
2
，則點P（x，y）的運動軌跡是（　�。�
A、拋物線B、雙曲線C、橢圓D、圓

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，sinA=
3
sinC．
（1）若B=
π
3
，求tanA的值；
（2）若△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且△ABC的面積S滿足S=b2tanB，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2（x-
π
6
）+sin2（x+
π
6
）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-
π
3
，
π
6
]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={y|y=x2+2，x∈R}，B={y|y=4-x，x∈R}，則A∩B=（　　）
A、{3，6}B、{-2，1}
C、{y|y≥2}D、R

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線C的焦點分別為F1（-2
2
，0），F(xiàn)2（2
2
，0），且雙曲線C經(jīng)過點P（4
2
，2
7
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設O為坐標原點，若點A在雙曲線C上，點B在直線x=
2
上，且
OA
•
OB
=0，是點O為圓心的定圓恒與直線AB相切？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由．

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