Question

10．已知點(diǎn)A（1，0）在矩陣M=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\&{0}\end{array}]$（b＞0）對應(yīng)的變換下得到點(diǎn)P，若△POA的面積為$\sqrt{3}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∠POA=60°，求a，b的值，并寫出M的逆矩陣．

Answer 1

分析 利用矩陣的乘法求出P，利用△POA的面積為$\sqrt{3}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∠POA=60°，b＞0，求出a，b，即可寫出M的逆矩陣．

解答 解：由題意，得$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\&{0}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]=[\begin{array}{l}{a}\\\end{array}]$，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，b）．
因?yàn)椤鱌OA的面積為$\sqrt{3}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∠POA=60°，b＞0，
所以b=$\sqrt{3}$a，①$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$×sin60°=$\sqrt{3}$，②
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$．…（6分）
所以M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{\sqrt{3}}&{0}\end{array}]$．
因?yàn)閨M|=-$\sqrt{3}$
所以M=$[\begin{array}{l}{2}&{1}\\{\sqrt{3}}&{0}\end{array}]$的逆矩陣為$[\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2\sqrt{3}}}\\{1}&{-\frac{1}{\sqrt{3}}}\end{array}]$．

點(diǎn)評 本題考查矩陣的乘法，考查逆矩陣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．