Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x-alnx+b，x＞0，其中a＞0，b∈R．
（1）若a=b=1，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：存在唯一的正實(shí)數(shù)x₀，使函數(shù)f（x）在x₀處取得極小值；
（3）若a+b=0，且函數(shù)f（x）有2個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后求解切線方程；
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極小值，推出結(jié)果．
（3）a+b=0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'（x）={e^x}-\frac{a}{x}=\frac{{x{e^x}-a}}{x}$，利用函數(shù)的極小值，得到$f（{x_0}）={e^{x_0}}-aln{x_0}-a={e^{x_0}}（1-{x_0}ln{x_0}-{x_0}）$，設(shè)r（x）=1-xlnx-x，x＞0利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)h（x）=xe^x-a在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，通過（ⅰ）當(dāng)0＜a≤e時(shí)，（ⅱ）當(dāng)a＞e時(shí)，利用單調(diào)性推出f（x）在區(qū)間上（0，x₀）上有唯一的零點(diǎn)，f（a）=e^a-alna-a，a＞e，設(shè)t（a）=e^a-alna-a，a＞e，然后通過導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的極值，推出函數(shù)f（x）有2個(gè)互不相同的零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）．

解答 解：∵f（x）=e^x-alnx+b，
∴$f'（x）={e^x}-\frac{a}{x}$，
（1）∵a=b=1，
∴f（x）=e^x-lnx+1，$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，…（2分）
∴切點(diǎn)為（1，f（1）），即（1，e+1），切線的斜率為f'（1），即切線的斜率為e-1，
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-（e+1）=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x+2．   …（4分）
（2）令f'（x）=0，得xe^x-a=0，
設(shè)h（x）=xe^x-a，x＞0，
∴h'（x）=（x+1）e^x＞0，∴h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（0）=-a＜0，h（a）=a（e^a-1）＞0，
∴h（0）h（a）＜0，且h（x）在區(qū)間（0，+∞）上的圖象不間斷，
∴存在唯一的x₀∈（0，a），使h（x₀）=0，…（6分）

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小	增

∴存在唯一的x₀∈（0，+∞），使函數(shù)f（x）在x=x₀處取得極小值．           …（8分）
（3）∵a+b=0，∴f（x）=e^x-alnx-a，x＞0，∴$f'（x）={e^x}-\frac{a}{x}=\frac{{x{e^x}-a}}{x}$，
由（2）可得：函數(shù)f（x）的極小值為f（x₀），且${x_0}{e^{x_0}}-a=0$，
∴$f（{x_0}）={e^{x_0}}-aln{x_0}-a={e^{x_0}}（1-{x_0}ln{x_0}-{x_0}）$，
設(shè)r（x）=1-xlnx-x，x＞0，∴r'（x）=-lnx-2，
∴當(dāng)0＜x＜e^-2時(shí)，r'（x）＞0，當(dāng)x＞e^-2時(shí)，r'（x）＜0，…（10分）
由（2）可得：函數(shù)h（x）=xe^x-a在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（�。┊�(dāng)0＜a≤e時(shí)，
∵$a={x_0}{e^{x_0}}≤e$，∴h（x₀）≤h（1），∴0＜x₀≤1，
∴$f（{x_0}）={e^{x_0}}[（1-{x_0}）-（{x_0}ln{x_0}）]＞0$，
∴當(dāng)x＞0，f（x）＞0，無零點(diǎn)，…（12分）
（ⅱ）當(dāng)a＞e時(shí)，
∵$a={x_0}{e^{x_0}}＞e$，∴h（x₀）＞h（1），∴x₀＞1，
∵r（x）=1-xlnx-x在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴r（x₀）＜r（1）=0，
∴$f（{x_0}）={e^{x_0}}r（{x_0}）＜0$，
∵$f（\frac{1}{a}）={e^{\frac{1}{a}}}-aln\frac{1}{a}-a={e^{\frac{1}{a}}}+a（lna-1）＞0$，其中$0＜\frac{1}{a}＜{x_0}$，
∴$f（\frac{1}{a}）f（{x_0}）＜0$，且函數(shù)f（x）在區(qū)間上（0，x₀）單調(diào)遞減，圖象不間斷，
∴f（x）在區(qū)間上（0，x₀）上有唯一的零點(diǎn)，
又∵f（a）=e^a-alna-a，a＞e，
設(shè)t（a）=e^a-alna-a，a＞e，∴t'（a）=e^a-lna-2，
∵$（{e^a}-lna-2）'={e^a}-\frac{1}{a}＞{e^e}-\frac{1}{e}＞0$，∴t'（a）=e^a-lna-2在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t'（a）＞t'（e）=e^e-3＞0，∴t（a）=e^a-alna-a在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t（a）＞t（e）=e^e-2e＞0，即f（a）＞0，
又∵$a={x_0}{e^{x_0}}＞{x_0}$，
∵f（x₀）f（a）＜0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間上（x₀，+∞）單調(diào)遞增，圖象不間斷，
∴f（x）在區(qū)間上（x₀，+∞）上有唯一的零點(diǎn)，
綜上所述：函數(shù)f（x）有2個(gè)互不相同的零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（e，+∞）．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及單調(diào)性，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想分類討論思想的應(yīng)用．