Question

【題目】已知橢圓的右焦點為,坐標原點為.橢圓的動弦過右焦點且不垂直于坐標軸， 的中點為,過且垂直于線段的直線交射線于點

(I)證明:點在直線上;

(Ⅱ)當四邊形是平行四邊形時,求的面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設所在直線為： ，聯立方程組，由韋達定理得，得到，從而和所在直線方程，聯立方程組解得，即可證得點在直線上.

（Ⅱ）由點是的中點，且四邊形是平行四邊形，即點是的中點，

由（Ⅰ）知的坐標，求得的值，得到，利用弦長公式和兩點的距離公式分別求得 ，即可求得的面積．

試題解析：

（Ⅰ）易知，設所在直線為： ， ，

聯立方程組，化簡得

由韋達定理得， ，

則，從而所在直線方程為

又所在直線方程為，聯立兩直線方程解得.

所以點在直線上.

（Ⅱ）∵點是的中點，且四邊形是平行四邊形 ∴點是的中點

由（Ⅰ）知， ，則

此時

.

從而.