Question

12．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=$\frac{π}{2}$，AD=1，AB=2CD=4，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折起到△A₁DE，使得A₁在平面EBCD上的射影H在直線CD上．
（Ⅰ）求證：平面A₁EC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）求平面DEA₁與平面A₁BC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過A₁過A₁H⊥CD交CD于H，推導(dǎo)出A₁H⊥CE，CD⊥CE，從而CE⊥平面A₁CD，由此能證明平面A₁EC⊥平面A₁DC．
（Ⅱ）連結(jié)AH交DE、BC于M，N，推導(dǎo)出A₁A⊥DE，A₁H⊥DE，從而DE⊥平面A₁AH，設(shè)平面DEA₁∩平面A₁BC=l，則∠MA₁N為二面角E-l-B的平面角，由此能求出平面DEA₁與平面A₁BC所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）過A₁過A₁H⊥CD交CD于H，
由A₁在平面EBCD上的射影在直線CD上，知A₁H⊥平面CDE，
∴A₁H⊥CE，
又CD⊥CE，CD∩A₁H=H，∴CE⊥平面A₁CD，
∵CE?平面A₁EC，
∴平面A₁EC⊥平面A₁DC．
解：（Ⅱ）連結(jié)AH交DE、BC于M，N，
由AD=A₁D，AE=A₁E，∴A₁A⊥DE，
又A₁H⊥DE，
∴DE⊥平面A₁AH，
∴DE⊥A₁M，DE⊥A₁N，DE⊥AH，
又DE∥平面A₁BC，設(shè)平面DEA₁∩平面A₁BC=l，
∴DE∥l，從而l⊥A₁M，l⊥A₁N，
∴∠MA₁N為二面角E-l-B的平面角，
DH=$\frac{1}{2}$，A₁H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MH=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，NH=3MH=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴tan$∠M{A}_{1}H=\frac{MH}{{A}_{1}H}=\frac{\sqrt{15}}{15}$，
tan$∠N{A}_{1}H=\frac{NH}{{A}_{1}H}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
tan∠MA₁N=tan（∠MA₁H+∠NA₁H）
=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{15}+\frac{3\sqrt{15}}{15}}{1-\frac{\sqrt{15}}{15}×\frac{3\sqrt{15}}{15}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴cos$∠M{A}_{1}N=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴平面DEA₁與平面A₁BC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．